Dados publicados pelo SSRC – sigla americana para Conselho de Pesquisa em Ciências Sociais – apontam que o brasileiro paga por um DVD pirata o mesmo valor que pagaria por um produto original caso morasse nos Estados Unidos.
A conclusão é parte do estudo intitulado “Media Piracy in Emerging Economies” – Pirataria em mercados emergentes, em tradução livre – e levou em consideração valores de mercado praticados em 2008.
Para que os valores representassem exatamente o padrão econômico do brasileiro, os preços dos produtos sofreram reajustes e foram analisados tomando como base o impacto de cada um deles no orçamento. Assim, um DVD de US$ 3,50, por exemplo, teve o custo ajustado para US$ 20.
Ou seja, enquanto um norte-americano compra um DVD original por US$ 24, o brasileiro precisaria gastar US$ 20, quase o mesmo valor, para adquirir um produto pirata. Assim como o Brasil, Rússia e África do Sul também apresentaram índices semelhantes.
A pesquisa também levou em consideração o preço de softwares. Em 2009, o Microsoft Office 2007: Home and Student custava US$ 149 nos EUA. Analisando-se o poder de compra do usuário brasileiro, o impacto no orçamento para comprar o mesmo produto por aqui seria de US$ 621.
A pesquisa do SSRC conta com o apoio do Instituto Overmundo e do Centro de Tecnologia e Sociedade da FGV. O relatório final cita ainda alguns sites e serviços que contribuem para a pirataria no Brasil, como a extinta comunidade “Discografias”, do Orkut, e os sites legendas.tv e InSubs.
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domingo, 13 de março de 2011
quarta-feira, 3 de novembro de 2010
Video-Aula sobre Cônicas - Elipse, Parábola e Hipérbole
Bom amigos, estava com essa aula aqui em casa e resolvo postá-la no Youtube visando um melhor entendimento sobre o estudo das Cônicas.
Assistam e não esqueçam de comentar!!
Assistam e não esqueçam de comentar!!
Parábola para Ensino Médio
Definição: A parábola (do grego παραβολή) é uma seção cônica gerada pela intersecção de uma superfície cônica de segundo grau e um plano paralelo a uma linha geradora de cone (chamada geratriz.
Aplicações práticas de Parábola
(a) A secção de um farol de automóvel tem o formato de uma parábola (a superfície espelhada é um parabolóide). A lâmpada situada no foco, quando acesa, emite raios luminosos que após incidirem sobre a parábola serão refletidos numa mesma direção segundo retas paralelas ao eixo da parábola.
(b) Se um esplho parabólico é apontado para o Sol, os raios da luz (paralelos ao eixo da parábola) serão refletidos para o mesmo ponto (foco). Pela grande quantidade de calor produzido nesta fonte, procede o nome foco (em latim focus significa fogo).
Aplica-se o mesmo princípio na construção de espelhos para telescópios, antenas de radar e antenas parabólicas (as onda paralelas ao eixo da parábola, se refletem na antena e conluem para o retransmissor).
(c) O cabo principal de uma ponte pênsil assumiria a forma de uma parábola (desde que o cabo fosse perfeitamente flexível), se negligenciasse a sua massa e se o peso da ponte estivesse uniformemente distribuídos ao longo de seu comprimento.
Na prática, sabemos que tais condições não se verificam. Na verdade os cabos assumem a forma de uma forma de uma curva muito próxima de uma parábola. Tal curva sujeita apenas ao próprio peso se chama CATENÁRIA.
(d) Em Resistência dos Materiais, o diagrama do Momento Fletor de uma viga submetida a uma carga uniforme é uma parábola.
(e) Em balística, quando se lança um projétil sobre o qual atua somente a força da gravidade, a trajetória é uma parábola.
(f) Seja um recipiente cilíndrico parcialmente cheio de um certo líquido. Aplicando-se o movimento de rotação no eixo do cilindo, a secção (ou seção) da superfície é uma parábola.
exemplo:
nos faróis de carros o espelho parabólico é utilizado da seguinte maneira: coloca-seuma lâmpada no foco do espelho parabólico e os raios luminosos emitidos pela lâmpada sobreo espelho sairão todos paralelos ao eixo que contém o foco e o vértice da superfícieparabólica.Os radares e os espelhos dos telescópios usam as propriedades da parábola de maneirasimilar às citadas anteriormente para a antena parabólica, para os fogões solares e para os espelhos dos faróis de carros.
Se você colocar uma parábola sobre a coordenadas cartesianas (xy gráfico) com:
Convertendo y2 = 5x de y2 = 4AX forma, obtemos y2 = 4 (04/05) x,
de modo a = 5 / 4, eo foco de y2= 5x é:
Aplicações práticas de Parábola
(a) A secção de um farol de automóvel tem o formato de uma parábola (a superfície espelhada é um parabolóide). A lâmpada situada no foco, quando acesa, emite raios luminosos que após incidirem sobre a parábola serão refletidos numa mesma direção segundo retas paralelas ao eixo da parábola.
(b) Se um esplho parabólico é apontado para o Sol, os raios da luz (paralelos ao eixo da parábola) serão refletidos para o mesmo ponto (foco). Pela grande quantidade de calor produzido nesta fonte, procede o nome foco (em latim focus significa fogo).
Aplica-se o mesmo princípio na construção de espelhos para telescópios, antenas de radar e antenas parabólicas (as onda paralelas ao eixo da parábola, se refletem na antena e conluem para o retransmissor).
(c) O cabo principal de uma ponte pênsil assumiria a forma de uma parábola (desde que o cabo fosse perfeitamente flexível), se negligenciasse a sua massa e se o peso da ponte estivesse uniformemente distribuídos ao longo de seu comprimento.
Na prática, sabemos que tais condições não se verificam. Na verdade os cabos assumem a forma de uma forma de uma curva muito próxima de uma parábola. Tal curva sujeita apenas ao próprio peso se chama CATENÁRIA.
(d) Em Resistência dos Materiais, o diagrama do Momento Fletor de uma viga submetida a uma carga uniforme é uma parábola.
(e) Em balística, quando se lança um projétil sobre o qual atua somente a força da gravidade, a trajetória é uma parábola.
(f) Seja um recipiente cilíndrico parcialmente cheio de um certo líquido. Aplicando-se o movimento de rotação no eixo do cilindo, a secção (ou seção) da superfície é uma parábola.
exemplo:
nos faróis de carros o espelho parabólico é utilizado da seguinte maneira: coloca-seuma lâmpada no foco do espelho parabólico e os raios luminosos emitidos pela lâmpada sobreo espelho sairão todos paralelos ao eixo que contém o foco e o vértice da superfícieparabólica.Os radares e os espelhos dos telescópios usam as propriedades da parábola de maneirasimilar às citadas anteriormente para a antena parabólica, para os fogões solares e para os espelhos dos faróis de carros.
Equações
- seu vértice na origem "O" e
- seu eixo de simetria deitado no eixo-x,
y2 = 4AX
Exemplo: Onde está o foco na equação y2= 5x?
Convertendo y2 = 5x de y2 = 4AX forma, obtemos y2 = 4 (04/05) x,
de modo a = 5 / 4, eo foco de y2= 5x é:
F = (a, 0) = (5 / 4, 0)
Hipérbole para Ensino Médio
Definição: A hipérbole é a curva que se obtém seccionando-se um cone com um plano que não passa pelo vértice, não é paralelo a uma reta geratriz e que corta as duas folhas da superfície.
Aplicações práticas de Hipérbole:
(a) Mecânica Celeste: dependendo de sua velocidade, um cometa tem uma órbita elíptica, parabólica ou hiperbólica (o foco coincide com o Sol).
(b) Em Mecânica dos Fluidos e em alguns problemas referentes ao fluxo estacionário de eletricidade são utilizadas hipérboles homofocais (de mesmo foco).
(c) O sistema LORAN (long range navigation) e o sistema DECCA de navegação aérea usam a hipérbole. Daq Terraz, concomitantemente são transmitidos sinais de rádio de dois pontos fixos F1 e F2 que são captados pelo aeroplano em P, ao longo de t1 e t2 segundos, respectivamente. A diferença entre t1 e t2 determina 2ª e assim obtêm a característica da hipérbole na qual está P.
Igualmente na navegação marítima utilizam-se sistemas hiperbólicos: O sistema RADUX (de baixíssima freqüência) e o sistema LORAC (de ondas contínuas para observações de grande precisão).
exemplo:
Os arcos de cônicas podem ser utilizados na arquitetura e engenharia. Um exemplo de utilização da hipérbole em construções pode ser vista em Brasilia e no planetário de St. Louis.
Durante esta semana iniciamos o estudo sobre a Hipérbole.
Hipérbole é o conjunto dos pontos P de um plano tais que a diferença de suas distâncias a dois pontos fixos F1 e F2, desse plano é uma constante positiva e menor que a distância entre esses pontos fixos.
d(P2F1) - d(P1F1)=2a, 2a<2c
d(F1F2)=2c
Com o estudo da hípérbole encerramos os estudos sobre as cônicas.
A equação reduzida é muito semelhante ao de elipse, por isso não haverá nenhuma dificuldade na resolução de exercícios.
Aplicações práticas de Hipérbole:
(a) Mecânica Celeste: dependendo de sua velocidade, um cometa tem uma órbita elíptica, parabólica ou hiperbólica (o foco coincide com o Sol).
(b) Em Mecânica dos Fluidos e em alguns problemas referentes ao fluxo estacionário de eletricidade são utilizadas hipérboles homofocais (de mesmo foco).
(c) O sistema LORAN (long range navigation) e o sistema DECCA de navegação aérea usam a hipérbole. Daq Terraz, concomitantemente são transmitidos sinais de rádio de dois pontos fixos F1 e F2 que são captados pelo aeroplano em P, ao longo de t1 e t2 segundos, respectivamente. A diferença entre t1 e t2 determina 2ª e assim obtêm a característica da hipérbole na qual está P.
Igualmente na navegação marítima utilizam-se sistemas hiperbólicos: O sistema RADUX (de baixíssima freqüência) e o sistema LORAC (de ondas contínuas para observações de grande precisão).
exemplo:
Os arcos de cônicas podem ser utilizados na arquitetura e engenharia. Um exemplo de utilização da hipérbole em construções pode ser vista em Brasilia e no planetário de St. Louis.
Durante esta semana iniciamos o estudo sobre a Hipérbole.Hipérbole é o conjunto dos pontos P de um plano tais que a diferença de suas distâncias a dois pontos fixos F1 e F2, desse plano é uma constante positiva e menor que a distância entre esses pontos fixos.
d(P2F1) - d(P1F1)=2a, 2a<2c
d(F1F2)=2c
Com o estudo da hípérbole encerramos os estudos sobre as cônicas.
A equação reduzida é muito semelhante ao de elipse, por isso não haverá nenhuma dificuldade na resolução de exercícios.
Elipse para Ensino Médio
Definição: A elipse é a curva que se obtém seccionando-se um cone com um plano que não passa pelo vértice, não paralelo a uma reta geratriz (reta que gira em torno do eixo do cone de forma a gerá-lo) e que corta apenas uma das folhas da superfície.
Aplicações práticas da Elipse:
(a) A trajetória ao redor do Sol não é circular e sim elíptica (não considerando o deslocamento do sistema solar). Foi Kepler (1571-1630) quem desenvolveu esta teoria. No caso da Terra os semi-eixos são a = 153.493.000km e b = 153.454.000 km. Donde podemos obter a excentricidade da órbita da Terra:
(quase uma circunferência)
O eixo maior apresenta dois pontos: o periélio (janeiro) e o afélio (julho), que correspondem às distâncias mínimas e máxima da Terra ao Sol, respectivamente.
Ademais, no globo terrestre (geóide) o equador tem aproximadamente a forma de uma circunferência e o meridiano de uma elipse.
(b) Arcos em forma de semi-elipse são muito empregados na construção de pontes de concreto e de pedras (desde os antigos romanos)
(c) Engenharia Civil: em Resistência dos Materiais é muito empregada a elipse de inércia.
Engenharia Elétrica: conjuntos de elipses homofocais (elipses de mesmo foco) são utilizadas na teoria de correntes elétricas estacionárias.
Engenharia Mecânica: são usadas engrenagens elípticas (excêntricos).
(d) Sob uma abóboda elíptica os sons emitidos em um foco têm melhor audibilidade nos pontos próximos ao outro foco, não obstante serem praticamente inaudíveis na região intermediária aos dois focos.
(e) O mais portentoso monumento arquitetônico da Roma antiga foi o Coliseu. A planta baixa possuía a forma elíptica, cujo eixo maior tinha 188m e o menos 156m. Começou a ser construído em 72 por Vespasiano e foi concluído em 82 por Tito. A cobertura móvel, à altura de 85m, era sustentada por um sistema inédito de tirantes, adicionada em caso de chuva para proteger seus 40.000 espectadores. Diante da tribuna imperial, os garbosos gladiadores romanos desfilavam antes da luta e proferiam em alto e bom som: “Ave, César, morituri te salutant” (Salve, César, os que vão morrer te saúdam).
exemplo:
Uma aplicação óptica pode ser encontrada no dispositivo de iluminação dos dentistas. Este consiste num espelho com a forma de um arco de elipse e numa lâmpada que se coloca no foco mais próximo. A luz da lâmpada é concentrada através do espelho no outro foco, que é ajustado pelo dentista para estar num ponto dentro da boca de seu paciente
exemplo:
Ao estudar a órbita de Marte, Kepler pôde verificar que esta não podia ser circular elamais se parecia com uma oval. Vários cálculos foram feitos e ele verificou que a órbita deMarte era uma elipse de excentricidade e ≈ 0,093 com o Sol em um dos focos.
Na figura ao lado podemos observar:
Aplicações práticas da Elipse:
(a) A trajetória ao redor do Sol não é circular e sim elíptica (não considerando o deslocamento do sistema solar). Foi Kepler (1571-1630) quem desenvolveu esta teoria. No caso da Terra os semi-eixos são a = 153.493.000km e b = 153.454.000 km. Donde podemos obter a excentricidade da órbita da Terra:
(quase uma circunferência)
O eixo maior apresenta dois pontos: o periélio (janeiro) e o afélio (julho), que correspondem às distâncias mínimas e máxima da Terra ao Sol, respectivamente.
Ademais, no globo terrestre (geóide) o equador tem aproximadamente a forma de uma circunferência e o meridiano de uma elipse.
(b) Arcos em forma de semi-elipse são muito empregados na construção de pontes de concreto e de pedras (desde os antigos romanos)
(c) Engenharia Civil: em Resistência dos Materiais é muito empregada a elipse de inércia.
Engenharia Elétrica: conjuntos de elipses homofocais (elipses de mesmo foco) são utilizadas na teoria de correntes elétricas estacionárias.
Engenharia Mecânica: são usadas engrenagens elípticas (excêntricos).
(d) Sob uma abóboda elíptica os sons emitidos em um foco têm melhor audibilidade nos pontos próximos ao outro foco, não obstante serem praticamente inaudíveis na região intermediária aos dois focos.
(e) O mais portentoso monumento arquitetônico da Roma antiga foi o Coliseu. A planta baixa possuía a forma elíptica, cujo eixo maior tinha 188m e o menos 156m. Começou a ser construído em 72 por Vespasiano e foi concluído em 82 por Tito. A cobertura móvel, à altura de 85m, era sustentada por um sistema inédito de tirantes, adicionada em caso de chuva para proteger seus 40.000 espectadores. Diante da tribuna imperial, os garbosos gladiadores romanos desfilavam antes da luta e proferiam em alto e bom som: “Ave, César, morituri te salutant” (Salve, César, os que vão morrer te saúdam).
exemplo:
Uma aplicação óptica pode ser encontrada no dispositivo de iluminação dos dentistas. Este consiste num espelho com a forma de um arco de elipse e numa lâmpada que se coloca no foco mais próximo. A luz da lâmpada é concentrada através do espelho no outro foco, que é ajustado pelo dentista para estar num ponto dentro da boca de seu paciente
exemplo:
Ao estudar a órbita de Marte, Kepler pôde verificar que esta não podia ser circular elamais se parecia com uma oval. Vários cálculos foram feitos e ele verificou que a órbita deMarte era uma elipse de excentricidade e ≈ 0,093 com o Sol em um dos focos.
Resumo Chave: Elipse é o conjunto dos pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos desse plano é constante.
Na figura ao lado podemos observar:A e B são os vértices da elipse e a medidas do segmento AB (eixo maior) é igual a 2a;
O segmento CD é o eixo menor e mede 2b
F1 e F2 são os focos e a distância entre F1 e F2 é chamada de distância focal e a medida de F1F2 é igual a 2c;
O ponto médio da distância focal é o centro da elipse.
A razão entre c e a é chamada de excentricidade e está entre 0 e 1.
Deixem suas dúvidas aqui.
quinta-feira, 21 de outubro de 2010
Qual o perfil dos professores de Matemática que utilizam softwares de geometria dinâmica em sala de aula?
Nos últimos anos, muito se tem falado na utilização de tecnologias
informáticas (TI) na prática docente. Diversos estudos têm sido feitos e hoje podemos
dizer que existe uma linha de pesquisa sobre este tema na Educação Matemática.
Esses recursos tecnológicos, no entanto, podem ser usados no desenvolvimento
de diversos conteúdos matemáticos. Neste artigo estaremos focalizando aqueles que
foram criados para o estudo da Geometria, chamados softwares de geometria dinâmica.
O termo “geometria dinâmica” está fortemente relacionado aos softwares que
permitem que construções geométricas possam ser arrastadas pela tela mantendo-se os
vínculos estabelecidos durante a realização da construção. Assim, as transformações das
figuras “ocorrem continuamente em tempo real, determinadas pelos movimentos do
cursor controlados pelo usuário” (Shumann & Green, 1994).
No Brasil, o Cabri-Géomètre (Baulac, Bellemain & Laborde, 1992, 1994) é
atualmente o mais conhecido e utilizado. Mas além dele existem outros, como o
Geometricks (Sadolin, 2000), Geometer’s Sketchpad (Jackiw, 1991, 1995), Geometric
Supposer (Schwartz & Yerushalmy, 1983-91, 1992), Geometry Inventor (Brock et al,
1994), Geoplan (CREEM, 1994), Cinderella (Kortenkamp & Gebert, 1998) e Dr. Geo
(Fernades, 1997-2000).
Os softwares de geometria dinâmica apresentam recursos com os quais os
alunos podem realizar, com muito mais rapidez, construções geométricas que são feitas
usualmente com régua e compasso. Sua utilização permite também o desenvolvimento
de atividades de livre exploração, onde o aluno interage com o computador, num
universo próximo ao que ele já conhece e está acostumado, que é o do “lápis e papel”
(Silva, 1997). Além disso, é possível realizar construções que com esta mídia
tradicional seria difícil.
É possível afirmar, então, que os softwares de geometria dinâmica possuem
recursos que permitem um trabalho diferenciado de ensino e aprendizagem de
Geometria. No entanto, seu uso é muito restrito na prática docente de Matemática.
Muitos professores até o conhecem, mas poucos se sentem seguros e preparados para
utilizá-los no seu dia-a-dia de sala de aula.
Vinicius Nascimento
informáticas (TI) na prática docente. Diversos estudos têm sido feitos e hoje podemos
dizer que existe uma linha de pesquisa sobre este tema na Educação Matemática.
Esses recursos tecnológicos, no entanto, podem ser usados no desenvolvimento
de diversos conteúdos matemáticos. Neste artigo estaremos focalizando aqueles que
foram criados para o estudo da Geometria, chamados softwares de geometria dinâmica.
O termo “geometria dinâmica” está fortemente relacionado aos softwares que
permitem que construções geométricas possam ser arrastadas pela tela mantendo-se os
vínculos estabelecidos durante a realização da construção. Assim, as transformações das
figuras “ocorrem continuamente em tempo real, determinadas pelos movimentos do
cursor controlados pelo usuário” (Shumann & Green, 1994).
No Brasil, o Cabri-Géomètre (Baulac, Bellemain & Laborde, 1992, 1994) é
atualmente o mais conhecido e utilizado. Mas além dele existem outros, como o
Geometricks (Sadolin, 2000), Geometer’s Sketchpad (Jackiw, 1991, 1995), Geometric
Supposer (Schwartz & Yerushalmy, 1983-91, 1992), Geometry Inventor (Brock et al,
1994), Geoplan (CREEM, 1994), Cinderella (Kortenkamp & Gebert, 1998) e Dr. Geo
(Fernades, 1997-2000).
Os softwares de geometria dinâmica apresentam recursos com os quais os
alunos podem realizar, com muito mais rapidez, construções geométricas que são feitas
usualmente com régua e compasso. Sua utilização permite também o desenvolvimento
de atividades de livre exploração, onde o aluno interage com o computador, num
universo próximo ao que ele já conhece e está acostumado, que é o do “lápis e papel”
(Silva, 1997). Além disso, é possível realizar construções que com esta mídia
tradicional seria difícil.
É possível afirmar, então, que os softwares de geometria dinâmica possuem
recursos que permitem um trabalho diferenciado de ensino e aprendizagem de
Geometria. No entanto, seu uso é muito restrito na prática docente de Matemática.
Muitos professores até o conhecem, mas poucos se sentem seguros e preparados para
utilizá-los no seu dia-a-dia de sala de aula.
Vinicius Nascimento
sexta-feira, 15 de outubro de 2010
Os Elementos de Euclides
Temos muito pouca informação sobre Euclides, que teria vivido por volta do ano 300 a.C. E esse pouco que dele sabemos nos vem dos comentários de Proclus (410-485), um autor que viveu mais de 700 anos depois de Euclides. Mesmo Proclus tem dificuldade em determinar a época em que viveu Euclides.
Euclides escreveu várias obras científicas, a mais famosa das quais, conhecida com o nome de Elementos, reúne quase todo o conhecimento matemático daquele tempo. Em parte por causa disso, e também por tratar-se de uma obra de escol, que reunia a maior.
Temos muito pouca informação sobre Euclides, que teria vivido por volta do ano 300 a.C. E esse pouco que dele sabemos nos vem dos comentários de Proclus (410-485), um autor que viveu mais de 700 anos depois de Euclides. Mesmo Proclus tem dificuldade em determinar a época em que viveu Euclides.
Euclides escreveu várias obras científicas, a mais famosa das quais, conhecida com o nome de Elementos, reúne quase todo o conhecimento matemático daquele tempo. Em parte por causa disso, e também por tratar-se de uma obra de escol, que reunia a maior parte da Matemática então conhecida, as obras anteriores aos Elementos desapareceram. A única exceção são alguns fragmentos atribuídos a Hipócrates de Quio, que viveu no século V a.C. Assim, os Elementos de Euclides são praticamente tudo o que temos da Matemática grega que se desenvolveu desde seu início com Tales de Miletos, que viveu no século VI a.C., até o tempo de Euclides, um período de cerca de 250 anos, aliás, muito pouco tempo para que a Matemática, logicamente organizada, evoluísse do estágio embrionário em que se encontrava com Tales, até o alto grau de sofisticação que transparece nos Elementos.
Não sabemos se Euclides escreveu os Elementos para uso no ensino, ou apenas para reunir o conhecimento matemático da época. Naquele tempo não havia a preocupação pedagógica dos dias de hoje, de sorte que Euclides alcançou os dois objetivos; e os Elementos foram muito usados no aprendizado da Matemática por mais de dois milênios. No século XIX já havia outros livros de Geometria, didaticamente mais adequados ao ensino, notadamente o livro de Legendre, que teve muitas edições em várias línguas, inclusive o português. Esse livro foi muito usado nas escolas brasileiras por quase todo o século XIX (veja nosso artigo Legendre e o postulado das paralelas na RPM 22).
Um equívoco que se comete com freqüência é pensar que os Elementos são uma obra apenas sobre Geometria. Na verdade, há muito de Aritmética e Álgebra em vários dos livros dos Elementos. O que é verdade - e isso explica, pelo menos em parte, a origem do equívoco - é que a Matemática grega, na época em que Euclides compôs sua obra, era toda ela geometrizada. De fato, a crise dos incomensuráveis (veja nosso artigo na RPM 5) e a genial solução que lhe deu Eudoxo (veja nosso artigo na RPM 7), aliada a uma excessiva preocupação com o rigor, encaminhou toda a Matemática para o lado da Geometria. Isso se tornou tão arraigado que até cerca de 100 anos atrás os matemáticos costumavam ser chamados de "geômetras".
sábado, 18 de setembro de 2010
TEOREMA DE PITÁGORAS
O Teorema de Pitágoras diz que, em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual
à soma dos quadrados dos catetos.
Se construírmos quadrados sobre os lados a, b e c do triângulo retângulo, esses quadrados terão área a2, b2 e c2.
Assim podemos enunciar o Teorema de Pitágoras da seguinte forma:
A área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos dois quadrados construídos sobre os catetos.
Podemos tornar o entendimento do Teorema mais lúdico por meio de RECORTES que nos ajudem a visualizar sua demonstração.
A partir de critérios de recorte aplicados aos quadrados menores (construídos sobre os catetos), podemos montar o quadrado maior (construído sobre a hipotenusa) através de quebras-cabeça que ilustram, e até mesmo demonstram, o Teorema de Pitágoras!
A seguir, mostraremos três quebra-cabeças para você brincar: tente montar, com as peças coloridas, o quadrado maior e procure identificar com que critérios de recorte foram construídas essas peças a partir dos quadrados menores.
Se você quiser, pode obter ajuda e ver os critérios de recorte e a demonstração que explicam porque o quebra-cabeça funciona e obter os arquivos Cabri para download.
à soma dos quadrados dos catetos.
Se construírmos quadrados sobre os lados a, b e c do triângulo retângulo, esses quadrados terão área a2, b2 e c2.
Assim podemos enunciar o Teorema de Pitágoras da seguinte forma:
A área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos dois quadrados construídos sobre os catetos.
Podemos tornar o entendimento do Teorema mais lúdico
A partir de critérios de recorte aplicados aos quadrados menores (construídos sobre os catetos), podemos montar o quadrado maior (construído sobre a hipotenusa) através de quebras-cabeça que ilustram, e até mesmo demonstram, o Teorema de Pitágoras!
A seguir, mostraremos três quebra-cabeças para você brincar: tente montar, com as peças coloridas, o quadrado maior e procure identificar com que critérios de recorte foram construídas essas peças a partir dos quadrados menores.
Se você quiser, pode obter ajuda e ver os critérios de recorte e a demonstração que explicam porque o quebra-cabeça funciona e obter os arquivos Cabri para download.
BINÔMIO DE NEWTON
Denomina-se Binômio de Newton , a todo binômio da forma (a + b)n , sendo n um número natural .
Exemplo:
B = (3x - 2y)4 ( onde a = 3x, b = -2y e n = 4 [grau do binômio] ).
Nota 1:Isaac Newton - físico e matemático inglês(1642 - 1727).
Suas contribuições à Matemática, estão reunidas na monumental obra Principia Mathematica, escrita em 1687.
Exemplos de desenvolvimento de binômios de Newton :
a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4
d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5
Nota 2:Não é necessário memorizar as fórmulas acima, já que elas possuem uma lei de formação bem definida, senão vejamos:
Vamos tomar por exemplo, o item (d) acima:
Observe que o expoente do primeiro e últimos termos são iguais ao expoente do binômio, ou seja, igual a 5.
A partir do segundo termo, os coeficientes podem ser obtidos a partir da seguinte regra prática de fácil memorização:
Multiplicamos o coeficiente de a pelo seu expoente e dividimos o resultado pela ordem do termo. O resultado será o coeficiente do próximo termo. Assim por exemplo, para obter o coeficiente do terceiro termo do item (d) acima teríamos:
5.4 = 20; agora dividimos 20 pela ordem do termo anterior (2 por se tratar do segundo termo) 20:2 = 10 que é o coeficiente do terceiro termo procurado.
Observe que os expoentes da variável a decrescem de n até 0 e os expoentes de b crescem de 0 até n. Assim o terceiro termo é 10 a3b2 (observe que o expoente de a decresceu de 4 para 3 e o de b cresceu de 1 para 2).
Usando a regra prática acima, o desenvolvimento do binômio de Newton (a + b)7 será:
(a + b)7 = a7 + 7 a6b + 21 a5b2 + 35 a4b3 + 35 a3b4 + 21 a2b5 + 7 ab6 + b7
Como obtivemos, por exemplo, o coeficiente do 6º termo (21 a2b5) ?
Pela regra: coeficiente do termo anterior = 35. Multiplicamos 35 pelo expoente de a que é igual a 3 e dividimos o resultado pela ordem do termo que é 5.
Então, 35 . 3 = 105 e dividindo por 5 (ordem do termo anterior) vem 105:5 = 21, que é o coeficiente do sexto termo, conforme se vê acima.
Observações:
1) o desenvolvimento do binômio (a + b)n é um polinômio.
2) o desenvolvimento de (a + b)n possui n + 1 termos .
3) os coeficientes dos termos eqüidistantes dos extremos , no desenvolvimento de
(a + b)n são iguais .
4) a soma dos coeficientes de (a + b)n é igual a 2n .
Fórmula do termo geral de um Binômio de Newton
Um termo genérico Tp+1 do desenvolvimento de (a+b)n , sendo p um número natural, é dado por
onde
é denominado Número Binomial e Cn.p é o número de combinações simples de n elementos, agrupados p a p, ou seja, o número de combinações simples de n elementos de taxa p.
Este número é também conhecido como Número Combinatório.
Exemplo:
B = (3x - 2y)4 ( onde a = 3x, b = -2y e n = 4 [grau do binômio] ).
Nota 1:Isaac Newton - físico e matemático inglês(1642 - 1727).
Suas contribuições à Matemática, estão reunidas na monumental obra Principia Mathematica, escrita em 1687.
Exemplos de desenvolvimento de binômios de Newton :
a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4
d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5
Nota 2:Não é necessário memorizar as fórmulas acima, já que elas possuem uma lei de formação bem definida, senão vejamos:
Vamos tomar por exemplo, o item (d) acima:
Observe que o expoente do primeiro e últimos termos são iguais ao expoente do binômio, ou seja, igual a 5.
A partir do segundo termo, os coeficientes podem ser obtidos a partir da seguinte regra prática de fácil memorização:
Multiplicamos o coeficiente de a pelo seu expoente e dividimos o resultado pela ordem do termo. O resultado será o coeficiente do próximo termo. Assim por exemplo, para obter o coeficiente do terceiro termo do item (d) acima teríamos:
5.4 = 20; agora dividimos 20 pela ordem do termo anterior (2 por se tratar do segundo termo) 20:2 = 10 que é o coeficiente do terceiro termo procurado.
Observe que os expoentes da variável a decrescem de n até 0 e os expoentes de b crescem de 0 até n. Assim o terceiro termo é 10 a3b2 (observe que o expoente de a decresceu de 4 para 3 e o de b cresceu de 1 para 2).
Usando a regra prática acima, o desenvolvimento do binômio de Newton (a + b)7 será:
(a + b)7 = a7 + 7 a6b + 21 a5b2 + 35 a4b3 + 35 a3b4 + 21 a2b5 + 7 ab6 + b7
Pela regra: coeficiente do termo anterior = 35. Multiplicamos 35 pelo expoente de a que é igual a 3 e dividimos o resultado pela ordem do termo que é 5.
Então, 35 . 3 = 105 e dividindo por 5 (ordem do termo anterior) vem 105:5 = 21, que é o coeficiente do sexto termo, conforme se vê acima.
Observações:
1) o desenvolvimento do binômio (a + b)n é um polinômio.
2) o desenvolvimento de (a + b)n possui n + 1 termos .
3) os coeficientes dos termos eqüidistantes dos extremos , no desenvolvimento de
(a + b)n são iguais .
4) a soma dos coeficientes de (a + b)n é igual a 2n .
Fórmula do termo geral de um Binômio de Newton
Um termo genérico Tp+1 do desenvolvimento de (a+b)n , sendo p um número natural, é dado por
onde
é denominado Número Binomial e Cn.p é o número de combinações simples de n elementos, agrupados p a p, ou seja, o número de combinações simples de n elementos de taxa p.Este número é também conhecido como Número Combinatório.
NÚMEROS COMPLEXOS
Quantas vezes, ao calcularmos o valor de Delta (b2- 4ac) na resolução da equação do 2º grau, nos deparamos com um valor negativo (Delta < 0). Nesse caso, sempre dizemos ser impossível a raiz no universo considerado (normalmente no conjunto dos reais- R). A partir daí, vários matemáticos estudaram este problema, sendo Gauss e Argand os que realmente conseguiram expor uma interpretação geométrica num outro conjunto de números, chamado de números complexos, que representamos por C.
Números Complexos
Chama-se conjunto dos números complexos, e representa-se por C, o conjunto de pares ordenados, ou seja:
z = (x,y)
onde x pertence a R e y pertence a R.
onde x pertence a R e y pertence a R.
Então, por definição, se z = (x,y) = (x,0) + (y,0)(0,1) onde i=(0,1), podemos escrever que:
z=(x,y)=x+yi
Exemplos:
(5,3)=5+3i
(2,1)=2+i
(-1,3)=-1+3i ...
Dessa forma, todo o números complexo z=(x,y) pode ser escrito na forma z=x+yi, conhecido como forma algébrica, onde temos:
(5,3)=5+3i
(2,1)=2+i
(-1,3)=-1+3i ...
Dessa forma, todo o números complexo z=(x,y) pode ser escrito na forma z=x+yi, conhecido como forma algébrica, onde temos:
x=Re(z, parte real de z
y=Im(z), parte imaginária de z
y=Im(z), parte imaginária de z
Igualdade entre números complexos
Dois números complexos são iguais se, e somente se, apresentam simultaneamente iguais a parte real e a parte imaginária. Assim, se z1=a+bi e z2=c+di, temos que:
Dois números complexos são iguais se, e somente se, apresentam simultaneamente iguais a parte real e a parte imaginária. Assim, se z1=a+bi e z2=c+di, temos que:
z1=z2<==> a=c e b=d
Adição de números complexos
Para somarmos dois números complexos basta somarmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z=a+bi e z2=c+di, temos que:
Para somarmos dois números complexos basta somarmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z=a+bi e z2=c+di, temos que:
z1+z2=(a+c) + (b+d)
Subtração de números complexos
Para subtrairmos dois números complexos basta subtrairmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z=a+bi e z2=c+di, temos que:
Para subtrairmos dois números complexos basta subtrairmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z=a+bi e z2=c+di, temos que:
z1-z2=(a-c) + (b-d)
Potências de i
Se, por definição, temos que i = - (-1)1/2, então:
i0 = 1
i1 = i
i2 = -1
i3 = i2.i = -1.i = -i
i4 = i2.i2=-1.-1=1
i5 = i4. 1=1.i= i
i6 = i5. i =i.i=i2=-1
i7 = i6. i =(-1).i=-i ......
Observamos que no desenvolvimento de in (n pertencente a N, com n variando, os valores repetem-se de 4 em 4 unidades. Desta forma, para calcularmos in basta calcularmos ir onde r é o resto da divisão de n por 4.
Exemplo:
i63 => 63 / 4 dá resto 3, logo i63=i3=-i
Multiplicação de números complexos
Para multiplicarmos dois números complexos basta efetuarmos a multiplicacão dois dois binômios, observando os valores das potência de i. Assim, se z1=a+bi e z2=c+di, temos que:
Se, por definição, temos que i = - (-1)1/2, então:
i0 = 1
i1 = i
i2 = -1
i3 = i2.i = -1.i = -i
i4 = i2.i2=-1.-1=1
i5 = i4. 1=1.i= i
i6 = i5. i =i.i=i2=-1
i7 = i6. i =(-1).i=-i ......
Observamos que no desenvolvimento de in (n pertencente a N, com n variando, os valores repetem-se de 4 em 4 unidades. Desta forma, para calcularmos in basta calcularmos ir onde r é o resto da divisão de n por 4.
Exemplo:
i63 => 63 / 4 dá resto 3, logo i63=i3=-i
Multiplicação de números complexos
Para multiplicarmos dois números complexos basta efetuarmos a multiplicacão dois dois binômios, observando os valores das potência de i. Assim, se z1=a+bi e z2=c+di, temos que:
z1.z2 = a.c + adi + bci + bdi2
z1.z2= a.c + bdi2 = adi + bci
z1.z2= (ac - bd) + (ad + bc)i
Observar que : i2= -1
z1.z2= a.c + bdi2 = adi + bci
z1.z2= (ac - bd) + (ad + bc)i
Observar que : i2= -1
Conjugado de um número complexo
Dado z=a+bi, define-se como conjugado de z (representa-se por z-) ==> z-= a-bi
Exemplo:
z=3 - 5i ==> z- = 3 + 5i
z = 7i ==> z- = - 7i
z = 3 ==> z- = 3
Divisão de números complexos
Para dividirmos dois números complexos basta multiplicarmos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Assim, se z1= a + bi e z2= c + di, temos que:
z1 / z2 = [z1.z2-] / [z2z2-] = [ (a+bi)(c-di) ] / [ (c+di)(c-di) ]
Módulo de um número complexo
Dado z = a+bi, chama-se módulo de z ==> | z | = (a2+b2)1/2, conhecido como ro
Interpretação geométrica
Como dissemos, no início, a interpretação geométrica dos números complexos é que deu o impulso para o seu estudo. Assim, representamos o complexo z = a+bi da seguinte maneira
Dado z=a+bi, define-se como conjugado de z (representa-se por z-) ==> z-= a-bi
Exemplo:
z=3 - 5i ==>
z = 7i ==> z- = - 7i
z = 3 ==> z- = 3
Divisão de números complexos
Para dividirmos dois números complexos basta multiplicarmos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Assim, se z1= a + bi e z2= c + di, temos que:
z1 / z2 = [z1.z2-] / [z2z2-] = [ (a+bi)(c-di) ] / [ (c+di)(c-di) ]
Módulo de um número complexo
Dado z = a+bi, chama-se módulo de z ==> | z | = (a2+b2)1/2, conhecido como ro
Interpretação geométrica
Como dissemos, no início, a interpretação geométrica dos números complexos é que deu o impulso para o seu estudo. Assim, representamos o complexo z = a+bi da seguinte maneira
Forma polar dos números complexos
Da interpretação geométrica, temos que:
que é conhecida como forma polar ou trigonométrica de um número complexo.
Operações na forma polar
Sejam z1=ro1(cos t11) e z2=ro1(cos t1+i sent1). Então, temos que:
a)Multiplicação
Divisão
Potenciação
Radiciação
para n = 0, 1, 2, 3, ..., n-1
Exercícios ResolvidosDa interpretação geométrica, temos que:
que é conhecida como forma polar ou trigonométrica de um número complexo.
Operações na forma polar
Sejam z1=ro1(cos t11) e z2=ro1(cos t1+i sent1). Então, temos que:
a)Multiplicação
Divisão
Potenciação
Radiciação
para n = 0, 1, 2, 3, ..., n-1
1 - Sejam os complexos z1=(2x+1) + yi e z2=-y + 2i
Determine x e y de modo que z1 + z2 = 0
Temos que:
z1 + z2 = (2x + 1 -y) + (y +2) = 0
logo, é preciso que:
2x+1 - y =0 e y+2 = 0
Resolvendo, temos que y = -2 e x = -3/2
2 - Determine x, de modo que z = (x+2i)(1+i) seja imaginário puro
Efetuando a multiplicação, temos que:
z = x + (x+2)i + 2i2
z= (x-2) + (x+2)i
Para z ser imaginário puro é necessário que (x-2)=0, logo x=2
3 - Qual é o conjugado de z = (2+i) / (7-3i)?
Efetuando a divisão, temos que:
z = (2+i) / (7-3i) . (7+3i) / (7+3i) = (11 + 3i) / 58
O conjugado de Z seria, então z- = 11/58 - 13i/58
4 - Os módulos de z1 = x + 201/2i e z2= (x-2) + 6i são iguais, qual o valor de x?
Então, |z1= (x2 + 20)1/2 = |z2 = [(x-2)2 + 36}1/2
Em decorrência,
x2 + 20 = x2 - 4x + 4 + 36
20 = -4x + 40
4x = 20, logo x=5
5 - Escreva na forma trigonométrica o complexo z = (1+i) / i
Efetuando-se a divisão, temos:
z = [(1+i). -i] / -i2 = (-i -i2) = 1 - i
Para a forma trigonométrica, temos que:
r = (1 + 1)1/2 = 21/2
sen t = -1/21/2 = - 21/2 / 2
cos t = 1 / 21/2 = 21/2 / 2
Pelos valores do seno e cosseno, verificamos que t = 315º
Lembrando que a forma trigonométrica é dada por:
z = r(cos t + i sen t), temos que:
z = 21/2 ( cos 315º + i sen 315º )
Cone, Tronco de Cone e Setor Circular
Classificação
Cone obliquo: é quando o eixo do cone é obliquo à base
Cone reto: é quando o eixo está perpendicular à base
Obs: Se a secção meridiana de um cone for um triângulo eqüilátero, ou seja, g = 2R, então, o cone é eqüilátero.
Fórmulas:
Ab = pR2
Al = pRg
At = pR (g + R)
V = 1/3[pR2h]
Tronco de cone
Fórmulas:
Al = pk (r + R)
At = Al + b + B
V = kp (R2 + Rr + r2)
3
Setor circular
l: comprimento do arco
a: medida do ângulo central
Fórmulas:
Comprimento do arco da circunferênciaL = aRp ®a em graus
180o
L = aR ®a em radianos
Asetor = l . R2
Exemplos
1) O raio da base de um cone equilátero mede 5 cm. Calcular a medida g da geratriz e a medida h da altura
g = 2R -> g = 2 . 5
g = 10 cm
g2 = h2 + r2 -> 100 = h2 + 25
h = 5Ö3 cm
Resposta: g = 10cm e h = 5Ö3 cm
2) Desenvolvendo no plano a superfície lateral de um cone circular reto, obtemos um setor circular de raio 5cm e um ângulo central de 72º. Calcular a área lateral (Sl) a a área total (St) do cone.
Resolução: Sabendo–se que 72º = 2p/5 rad, vem: l= 2pR = a . g -> 2pR = 2p/5 . 5 -> R = 1cm Cálculo da área lateral (Sl)
Sl = p rg -> Sl = p . 1 . 5 -> Sl = 5p cm2
Cálculo da área da base (Sb)
Sb = p r2 -> Sb = p . 12 -> Sb = p cm2
Cálculo da área total(St)
St = Sl + Sb -> St = 5p + p -> St = 6p cm2
Resposta: A área lateral é 5p cm2 e a área total é de 6p cm2
3) Um tronco tem bases de raios 6cm e 4cm. Sabendo que a geratriz do tronco mede 5cm, calcular a área lateral e a área total do cone.
Resolução:
Cálculo da área lateral (Sl)
Sl = p G (r + R) -> Sl = p 5 (6 + 4) -> Sl = 50p cm2
Cálculo da área total (St)
SB = p R2 -> SB = p 62 -> SB = 36p cm2
Sb = p r2 -> Sb = p 42 -> Sb = 16p cm2
St = SB + Sb + Sl -> St = 36p + 16p + 50p -> St = 102p cm2
Resposta:
A área lateral é 50 p cm2 e a área total é 102p cm2
4) Os raios de um tronco circular reto são 3 m e 2 m . Sabendo – se que a altura do tronco é 6m, calcular o volume do tronco.
Resolução
V = kp/3 (R2 + Rr + r2)
V = 6p (32 + 3.2 + 22) -> V = 38p m3
Resposta: V = 38p m3
Definição de Funções
Dados dois conjuntos A e B não vazios , chama-se função (ou aplicação) de A em B, representada por f : A ® B ; y = f(x) , a qualquer relação binária que associa a cada elemento de A , um único elemento de B .
Portanto , para que uma relação de A em B seja uma função , exige-se que a cada x Î A esteja associado um único y Î B , podendo entretanto existir y Î B que não esteja associado a nenhum elemento pertencente a A .
Obs : na notação y = f(x) , entendemos que y é imagem de x pela função f, ou seja: y está associado a x através da função f.
Ex : f(x) = 4x+3 ; então f(2) = 4.2 + 3 = 11 e portanto , 11 é imagem de 2 pela função f ; f(5) = 4.5 + 3 = 23 , portanto 23 é imagem de 5 pela função f , etc.
Para definir uma função , necessitamos de dois conjuntos (Domínio e Contradomínio ) e de uma fórmula ou uma lei que relacione cada elemento do domínio a um e somente um elemento do contradomínio .
Quando D(f) Ì R e CD(f) Ì R , sendo R o conjunto dos números reais , dizemos que a função f é uma Função real de variável real . Na prática , costumamos considerar uma função real de variável real como sendo apenas a lei y = f(x) que a define , sendo o conjunto dos valores possíveis para x , chamado de domínio e o conjunto dos valores possíveis para y , chamado de conjunto imagem da função . Assim , por exemplo , para a função definida por y = 1/x , temos que o seu domínio é D(f) = R* , ou seja o conjunto dos reais diferentes de zero (lembre-se que não existe divisão por zero) , e o seu conjunto imagem é também R* , já que se y = 1/x , então x = 1/y e portanto y também não pode ser zero .
Dada uma função f : A ® B definida por y = f(x) , podemos representar os pares ordenados (x , y) Î f onde x Î A e y Î B ,num sistema de coordenadas cartesianas . O gráfico obtido será o gráfico da função f .
Assim , por exemplo , sendo dado o gráfico cartesiano de uma função f , podemos dizer que:
1 ) a projeção da curva sobre o eixo dos x , nos dá o domínio da função .
2 ) a projeção da curva sobre o eixo dos y , nos dá o conjunto imagem da função .
3 ) toda reta vertical que passa por um ponto do domínio da função , intercepta o gráfico da função em no máximo um ponto .
2.2 - Função injetora : uma função y = f(x) é injetora quando elementos distintos do seu domínio , possuem imagens distintas , isto é :
x1 ¹ x2 Þ f(x1) ¹ f(x2) .
2.3 - Função bijetora : uma função é dita bijetora , quando é ao mesmo tempo , injetora e sobrejetora .
a) Função injetora : n(A) £ n(B) .
b) Função sobrejetora : n(A) ³ n(B) .
c) Função bijetora : n(A) = n(B) .
ordenadas.
4.2 - Função ímpar : a função y = f(x) é ímpar , quando " x Î D(f) , f( - x ) = - f (x) . Portanto, numa função ímpar, elementos simétricos possuem imagens simétricas. Uma consequencia desse fato é que os gráficos cartesianos das funções ímpares, são curvas simétricas em relação ao ponto (0,0), origem do sistema de eixos cartesianos.
Nota : se uma função y = f(x) não é par nem ímpar, dizemos que ela não possui paridade.
a) para obter a função inversa , basta permutar as variáveis x e y .
b) o domínio de f -1 é igual ao conjunto imagem de f .
c) o conjunto imagem de f -1 é igual ao domínio de f .
d) os gráficos de f e de f -1 são curvas simétricas em relação à reta y = x ou seja , à bissetriz do primeiro quadrante .
e) f (f -1(x) ) = f -1 (f(x)) = x
Simbologia : fog (x) = f(g(x)) ou gof (x) = g(f(x)) .
Obs : atente para o fato de que fog ¹ gof ( a operação " composição de funções " não é comutativa
, isto é , o resultado depende da ordem de colocação das funções ) .
7 – Tipos particulares de funções
Exemplos:
a) f(x) = 5
b) f(x) = -3
Obs : o gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo dos x .
7.2 - FUNÇÃO DO 1º GRAU
Uma função é dita do 1º grau , quando é do tipo y = ax + b , onde a ¹ 0 .
Exemplos : f(x) = 3x + 12 ( a = 3 ; b = 12 ) f(x) = -3x + 1 (a = -3; b = 1).
Propriedades da função do 1º grau :
1) o gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta .
2) na função f(x) = ax + b , se b = 0 , f é dita linear e se b ¹ 0 f é dita afim .
3) o gráfico intercepta o eixo dos x na raiz da equação f(x) = 0 .
4) o gráfico intercepta o eixo dos y no ponto (0 , b) , onde b é chamado coeficiente linear .
5) o valor a é chamado coeficiente angular e dá a inclinação da reta .
6) se a > 0 , então f é crescente .
7) se a < 0 , então f é decrescente .
8) quando a função é linear ( f(x) = ax ) , o gráfico é uma reta que sempre passa na origem. 7.3 - FUNÇÃO DO 2º GRAU
Uma função é dita do 2º grau quando é do tipo f(x) = ax2 + bx + c , com a ¹ 0 .
Exemplos: f(x) = x2 - 2x + 1 ( a = 1 , b = -2 , c = 1 ) ; y = - x2 ( a = -1 , b = 0 , c = 0 )
Gráfico da função do 2º grau y = ax2 + bx + c : é sempre uma parábola de eixo vertical .
Propriedades do gráfico de y = ax2 + bx + c :
1) se a > 0 a parábola tem um ponto de mínimo .
2) se a < 0 a parábola tem um ponto de máximo
3) o vértice da parábola é o ponto V(xv , yv) onde xv = - b/2a e yv = - D /4a onde
D = b2 - 4ac .
4) a parábola intercepta o eixo dos x nos pontos de abcissas x’ e x’’ , que são as raízes da
equação ax2 + bx + c = 0 .
5) a parábola intercepta o eixo dos y no ponto (0 , c) .
6) o eixo de simetria da parábola é uma reta vertical de equação x = - b/2a.
7) ymax = - D /4a ( a < 0 )
8 ) ymin = - D /4a ( a > 0 )
9) Im(f) = { y Î R ; y ³ - D /4a } ( a > 0 )
10) Im(f) = { y Î R ; y £ - D /4a} ( a < 0)
11) Forma fatorada : sendo x1 e x2 as raízes da de f(x) = ax2 + bx + c , então ela pode ser escrita na forma fatorada a seguir :
y = a(x - x1).(x - x2)
Portanto , para que uma relação de A em B seja uma função , exige-se que a cada x Î A esteja associado um único y Î B , podendo entretanto existir y Î B que não esteja associado a nenhum elemento pertencente a A .
Obs : na notação y = f(x) , entendemos que y é imagem de x pela função f, ou seja: y está associado a x através da função f.
Ex : f(x) = 4x+3 ; então f(2) = 4.2 + 3 = 11 e portanto , 11 é imagem de 2 pela função f ; f(5) = 4.5 + 3 = 23 , portanto 23 é imagem de 5 pela função f , etc.
Para definir uma função , necessitamos de dois conjuntos (Domínio e Contradomínio ) e de uma fórmula ou uma lei que relacione cada elemento do domínio a um e somente um elemento do contradomínio .
Quando D(f) Ì R e CD(f) Ì R , sendo R o conjunto dos números reais , dizemos que a função f é uma Função real de variável real . Na prática , costumamos considerar uma função real de variável real como sendo apenas a lei y = f(x) que a define , sendo o conjunto dos valores possíveis para x , chamado de domínio e o conjunto dos valores possíveis para y , chamado de conjunto imagem da função . Assim , por exemplo , para a função definida por y = 1/x , temos que o seu domínio é D(f) = R* , ou seja o conjunto dos reais diferentes de zero (lembre-se que não existe divisão por zero) , e o seu conjunto imagem é também R* , já que se y = 1/x , então x = 1/y e portanto y também não pode ser zero .
Dada uma função f : A ® B definida por y = f(x) , podemos representar os pares ordenados (x , y) Î f onde x Î A e y Î B ,num sistema de coordenadas cartesianas . O gráfico obtido será o gráfico da função f .
Assim , por exemplo , sendo dado o gráfico cartesiano de uma função f , podemos dizer que:
1 ) a projeção da curva sobre o eixo dos x , nos dá o domínio da função .
2 ) a projeção da curva sobre o eixo dos y , nos dá o conjunto imagem da função .
3 ) toda reta vertical que passa por um ponto do domínio da função , intercepta o gráfico da função em no máximo um ponto .
2 –Tipos de Funções
2.1 - Função sobrejetora : é aquela cujo conjunto imagem é igual ao contradomínio .2.2 - Função injetora : uma função y = f(x) é injetora quando elementos distintos do seu domínio , possuem imagens distintas , isto é :
x1 ¹ x2 Þ f(x1) ¹ f(x2) .
2.3 - Função bijetora : uma função é dita bijetora , quando é ao mesmo tempo , injetora e sobrejetora .
3 – Relações entre o número de elementos do domínio e do contradomínio
Seja f uma função de A em B ; Sendo n(A) o número de elementos do conjunto A e n(B) o número de elementos do conjunto B , podemos concluir que :a) Função injetora : n(A) £ n(B) .
b) Função sobrejetora : n(A) ³ n(B) .
c) Função bijetora : n(A) = n(B) .
4 – Paridade da Funções
4.1 - Função par : a função y = f(x) é par quando " x Î D(f) , f(- x ) = f(x) . Portanto , numa função par, elementos simétricos possuem a mesma imagem. Uma consequencia desse fato é que os 2 gráficos cartesiano das funções pares, são curvas simétricas em relação ao eixo dos y ou eixo dasordenadas.
4.2 - Função ímpar : a função y = f(x) é ímpar , quando " x Î D(f) , f( - x ) = - f (x) . Portanto, numa função ímpar,
Nota : se uma função y = f(x) não é par nem ímpar, dizemos que ela não possui paridade.
5 – Função Inversa
Dada uma função f : A ® B , se f é bijetora , então define-se a função inversa f -1 como sendo a função de B em A , tal que f -1 (y) = x . É óbvio então que :a) para obter a função inversa , basta permutar as variáveis x e y .
b) o domínio de f -1 é igual ao conjunto imagem de f .
c) o conjunto imagem de f -1 é igual ao domínio de f .
d) os gráficos de f e de f -1 são curvas simétricas em relação à reta y = x ou seja , à bissetriz do primeiro quadrante .
e) f (f -1(x) ) = f -1 (f(x)) = x
6 – Função Composta
Chama-se função composta ( ou função de função ) à função obtida substituindo-se a variável independente x , por uma função .Simbologia : fog (x) = f(g(x)) ou gof (x) = g(f(x)) .
Obs : atente para o fato de que fog ¹ gof ( a operação " composição de funções " não é comutativa
, isto é , o resultado depende da ordem de colocação das funções ) .
7 – Tipos particulares de funções
7.1 - FUNÇÃO CONSTANTE
Uma função é dita constante quando é do tipo f(x) = k , onde k não depende de x .Exemplos:
a) f(x) = 5
b) f(x) = -3
Obs : o gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo dos x .
7.2 - FUNÇÃO DO 1º GRAU
Uma função é dita do 1º grau , quando é do tipo y = ax + b , onde a ¹ 0 .
Exemplos : f(x) = 3x + 12 ( a = 3 ; b = 12 ) f(x) = -3x + 1 (a = -3; b = 1).
Propriedades da função do 1º grau :
1) o gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta .
2) na função f(x) = ax + b , se b = 0 , f é dita linear e se b ¹ 0 f é dita afim .
3) o gráfico intercepta o eixo dos x na raiz da equação f(x) = 0 .
4) o gráfico intercepta o eixo dos y no ponto (0 , b) , onde b é chamado coeficiente linear .
5) o valor a é chamado coeficiente angular e dá a inclinação da reta .
6) se a > 0 , então f é crescente .
7) se a < 0 , então f é decrescente .
8) quando a função é linear ( f(x) = ax ) , o gráfico é uma reta que sempre passa na origem. 7.3 - FUNÇÃO DO 2º GRAU
Uma função é dita do 2º grau quando é do tipo f(x) = ax2 + bx + c , com a ¹ 0 .
Exemplos: f(x) = x2 - 2x + 1 ( a = 1 , b = -2 , c = 1 ) ; y = - x2 ( a = -1 , b = 0 , c = 0 )
Gráfico da função do 2º grau y = ax2 + bx + c : é sempre uma parábola de eixo vertical .
Propriedades do gráfico de y = ax2 + bx + c :
1) se a > 0 a parábola tem um ponto de mínimo .
2) se a < 0 a parábola tem um ponto de máximo
3) o vértice da parábola é o ponto V(xv , yv) onde xv = - b/2a e yv = - D /4a onde
D = b2 - 4ac .
4) a parábola intercepta o eixo dos x nos pontos de abcissas x’ e x’’ , que são as raízes da
equação ax2 + bx + c = 0 .
5) a parábola intercepta o eixo dos y no ponto (0 , c) .
6) o eixo de simetria da parábola é uma reta vertical de equação x = - b/2a.
7) ymax = - D /4a ( a < 0 )
8 ) ymin = - D /4a ( a > 0 )
9) Im(f) = { y Î R ; y ³ - D /4a } ( a > 0 )
10) Im(f) = { y Î R ; y £ - D /4a} ( a < 0)
11) Forma fatorada : sendo x1 e x2 as raízes da de f(x) = ax2 + bx + c , então ela pode ser escrita na forma fatorada a seguir :
y = a(x - x1).(x - x2)
Definição de Funções
Dados dois conjuntos A e B não vazios , chama-se função (ou aplicação) de A em B, representada por f : A ® B ; y = f(x) , a qualquer relação binária que associa a cada elemento de A , um único elemento de B .
Portanto , para que uma relação de A em B seja uma função , exige-se que a cada x Î A esteja associado um único y Î B , podendo entretanto existir y Î B que não esteja associado a nenhum elemento pertencente a A .
Obs : na notação y = f(x) , entendemos que y é imagem de x pela função f, ou seja: y está associado a x através da função f.
Ex : f(x) = 4x+3 ; então f(2) = 4.2 + 3 = 11 e portanto , 11 é imagem de 2 pela função f ; f(5) = 4.5 + 3 = 23 , portanto 23 é imagem de 5 pela função f , etc.
Para definir uma função , necessitamos de dois conjuntos (Domínio e Contradomínio ) e de uma fórmula ou uma lei que relacione cada elemento do domínio a um e somente um elemento do contradomínio .
Quando D(f) Ì R e CD(f) Ì R , sendo R o conjunto dos números reais , dizemos que a função f é uma Função real de variável real . Na prática , costumamos considerar uma função real de variável real como sendo apenas a lei y = f(x) que a define , sendo o conjunto dos valores possíveis para x , chamado de domínio e o conjunto dos valores possíveis para y , chamado de conjunto imagem da função . Assim , por exemplo , para a função definida por y = 1/x , temos que o seu domínio é D(f) = R* , ou seja o conjunto dos reais diferentes de zero (lembre-se que não existe divisão por zero) , e o seu conjunto imagem é também R* , já que se y = 1/x , então x = 1/y e portanto y também não pode ser zero .
Dada uma função f : A ® B definida por y = f(x) , podemos representar os pares ordenados (x , y) Î f onde x Î A e y Î B ,num sistema de coordenadas cartesianas . O gráfico obtido será o gráfico da função f .
Assim , por exemplo , sendo dado o gráfico cartesiano de uma função f , podemos dizer que:
1 ) a projeção da curva sobre o eixo dos x , nos dá o domínio da função .
2 ) a projeção da curva sobre o eixo dos y , nos dá o conjunto imagem da função .
3 ) toda reta vertical que passa por um ponto do domínio da função , intercepta o gráfico da função em no máximo um ponto .
2.2 - Função injetora : uma função y = f(x) é injetora quando elementos distintos do seu domínio , possuem imagens distintas , isto é :
x1 ¹ x2 Þ f(x1) ¹ f(x2) .
2.3 - Função bijetora : uma função é dita bijetora , quando é ao mesmo tempo , injetora e sobrejetora .
a) Função injetora : n(A) £ n(B) .
b) Função sobrejetora : n(A) ³ n(B) .
c) Função bijetora : n(A) = n(B) .
ordenadas.
4.2 - Função ímpar : a função y = f(x) é ímpar , quando " x Î D(f) , f( - x ) = - f (x) . Portanto, numa função ímpar, elementos simétricos possuem imagens simétricas. Uma consequencia desse fato é que os gráficos cartesianos das funções ímpares, são curvas simétricas em relação ao ponto (0,0), origem do sistema de eixos cartesianos.
Nota : se uma função y = f(x) não é par nem ímpar, dizemos que ela não possui paridade.
a) para obter a função inversa , basta permutar as variáveis x e y .
b) o domínio de f -1 é igual ao conjunto imagem de f .
c) o conjunto imagem de f -1 é igual ao domínio de f .
d) os gráficos de f e de f -1 são curvas simétricas em relação à reta y = x ou seja , à bissetriz do primeiro quadrante .
e) f (f -1(x) ) = f -1 (f(x)) = x
Simbologia : fog (x) = f(g(x)) ou gof (x) = g(f(x)) .
Obs : atente para o fato de que fog ¹ gof ( a operação " composição de funções " não é comutativa
, isto é , o resultado depende da ordem de colocação das funções ) .
7 – Tipos particulares de funções
Exemplos:
a) f(x) = 5
b) f(x) = -3
Obs : o gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo dos x .
7.2 - FUNÇÃO DO 1º GRAU
Uma função é dita do 1º grau , quando é do tipo y = ax + b , onde a ¹ 0 .
Exemplos : f(x) = 3x + 12 ( a = 3 ; b = 12 ) f(x) = -3x + 1 (a = -3; b = 1).
Propriedades da função do 1º grau :
1) o gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta .
2) na função f(x) = ax + b , se b = 0 , f é dita linear e se b ¹ 0 f é dita afim .
3) o gráfico intercepta o eixo dos x na raiz da equação f(x) = 0 .
4) o gráfico intercepta o eixo dos y no ponto (0 , b) , onde b é chamado coeficiente linear .
5) o valor a é chamado coeficiente angular e dá a inclinação da reta .
6) se a > 0 , então f é crescente .
7) se a < 0 , então f é decrescente .
8) quando a função é linear ( f(x) = ax ) , o gráfico é uma reta que sempre passa na origem. 7.3 - FUNÇÃO DO 2º GRAU
Uma função é dita do 2º grau quando é do tipo f(x) = ax2 + bx + c , com a ¹ 0 .
Exemplos: f(x) = x2 - 2x + 1 ( a = 1 , b = -2 , c = 1 ) ; y = - x2 ( a = -1 , b = 0 , c = 0 )
Gráfico da função do 2º grau y = ax2 + bx + c : é sempre uma parábola de eixo vertical .
Propriedades do gráfico de y = ax2 + bx + c :
1) se a > 0 a parábola tem um ponto de mínimo .
2) se a < 0 a parábola tem um ponto de máximo
3) o vértice da parábola é o ponto V(xv , yv) onde xv = - b/2a e yv = - D /4a onde
D = b2 - 4ac .
4) a parábola intercepta o eixo dos x nos pontos de abcissas x’ e x’’ , que são as raízes da
equação ax2 + bx + c = 0 .
5) a parábola intercepta o eixo dos y no ponto (0 , c) .
6) o eixo de simetria da parábola é uma reta vertical de equação x = - b/2a.
7) ymax = - D /4a ( a < 0 )
8 ) ymin = - D /4a ( a > 0 )
9) Im(f) = { y Î R ; y ³ - D /4a } ( a > 0 )
10) Im(f) = { y Î R ; y £ - D /4a} ( a < 0)
11) Forma fatorada : sendo x1 e x2 as raízes da de f(x) = ax2 + bx + c , então ela pode ser escrita na forma fatorada a seguir :
y = a(x - x1).(x - x2)
Portanto , para que uma relação de A em B seja uma função , exige-se que a cada x Î A esteja associado um único y Î B , podendo entretanto existir y Î B que não esteja associado a nenhum elemento pertencente a A .
Obs : na notação y = f(x) , entendemos que y é imagem de x pela função f, ou seja: y está associado a x através da função f.
Ex : f(x) = 4x+3 ; então f(2) = 4.2 + 3 = 11 e portanto , 11 é imagem de 2 pela função f ; f(5) = 4.5 + 3 = 23 , portanto 23 é imagem de 5 pela função f , etc.
Para definir uma função , necessitamos de dois conjuntos (Domínio e Contradomínio ) e de uma fórmula ou uma lei que relacione cada elemento do domínio a um e somente um elemento do contradomínio .
Quando D(f) Ì R e CD(f) Ì R , sendo R o conjunto dos números reais , dizemos que a função f é uma Função real de variável real . Na prática , costumamos considerar uma função real de variável real como sendo apenas a lei y = f(x) que a define , sendo o conjunto dos valores possíveis para x , chamado de domínio e o conjunto dos valores possíveis para y , chamado de conjunto imagem da função . Assim , por exemplo , para a função definida por y = 1/x , temos que o seu domínio é D(f) = R* , ou seja o conjunto dos reais diferentes de zero (lembre-se que não existe divisão por zero) , e o seu conjunto imagem é também R* , já que se y = 1/x , então x = 1/y e portanto y também não pode ser zero .
Dada uma função f : A ® B definida por y = f(x) , podemos representar os pares ordenados (x , y) Î f onde x Î A e y Î B ,num sistema de coordenadas cartesianas . O gráfico obtido será o gráfico da função f .
Assim , por exemplo , sendo dado o gráfico cartesiano de uma função f , podemos dizer que:
1 ) a projeção da curva sobre o eixo dos x , nos dá o domínio da função .
2 ) a projeção da curva sobre o eixo dos y , nos dá o conjunto imagem da função .
3 ) toda reta vertical que passa por um ponto do domínio da função , intercepta o gráfico da função em no máximo um ponto .
2 –Tipos de Funções
2.1 - Função sobrejetora : é aquela cujo conjunto imagem é igual ao contradomínio .2.2 - Função injetora : uma função y = f(x) é injetora quando elementos distintos do seu domínio , possuem imagens distintas , isto é :
x1 ¹ x2 Þ f(x1) ¹ f(x2) .
2.3 - Função bijetora : uma função é dita bijetora , quando é ao mesmo tempo , injetora e sobrejetora .
3 – Relações entre o número de elementos do domínio e do contradomínio
Seja f uma função de A em B ; Sendo n(A) o número de elementos do conjunto A e n(B) o número de elementos do conjunto B , podemos concluir que :a) Função injetora : n(A) £ n(B) .
b) Função sobrejetora : n(A) ³ n(B) .
c) Função bijetora : n(A) = n(B) .
4 – Paridade da Funções
4.1 - Função par : a função y = f(x) é par quando " x Î D(f) , f(- x ) = f(x) . Portanto , numa função par, elementos simétricos possuem a mesma imagem. Uma consequencia desse fato é que os 2 gráficos cartesiano das funções pares, são curvas simétricas em relação ao eixo dos y ou eixo dasordenadas.
4.2 - Função ímpar : a função y = f(x) é ímpar , quando " x Î D(f) , f( - x ) = - f (x) . Portanto, numa função ímpar,
Nota : se uma função y = f(x) não é par nem ímpar, dizemos que ela não possui paridade.
5 – Função Inversa
Dada uma função f : A ® B , se f é bijetora , então define-se a função inversa f -1 como sendo a função de B em A , tal que f -1 (y) = x . É óbvio então que :a) para obter a função inversa , basta permutar as variáveis x e y .
b) o domínio de f -1 é igual ao conjunto imagem de f .
c) o conjunto imagem de f -1 é igual ao domínio de f .
d) os gráficos de f e de f -1 são curvas simétricas em relação à reta y = x ou seja , à bissetriz do primeiro quadrante .
e) f (f -1(x) ) = f -1 (f(x)) = x
6 – Função Composta
Chama-se função composta ( ou função de função ) à função obtida substituindo-se a variável independente x , por uma função .Simbologia : fog (x) = f(g(x)) ou gof (x) = g(f(x)) .
Obs : atente para o fato de que fog ¹ gof ( a operação " composição de funções " não é comutativa
, isto é , o resultado depende da ordem de colocação das funções ) .
7 – Tipos particulares de funções
7.1 - FUNÇÃO CONSTANTE
Uma função é dita constante quando é do tipo f(x) = k , onde k não depende de x .Exemplos:
a) f(x) = 5
b) f(x) = -3
Obs : o gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo dos x .
7.2 - FUNÇÃO DO 1º GRAU
Uma função é dita do 1º grau , quando é do tipo y = ax + b , onde a ¹ 0 .
Exemplos : f(x) = 3x + 12 ( a = 3 ; b = 12 ) f(x) = -3x + 1 (a = -3; b = 1).
Propriedades da função do 1º grau :
1) o gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta .
2) na função f(x) = ax + b , se b = 0 , f é dita linear e se b ¹ 0 f é dita afim .
3) o gráfico intercepta o eixo dos x na raiz da equação f(x) = 0 .
4) o gráfico intercepta o eixo dos y no ponto (0 , b) , onde b é chamado coeficiente linear .
5) o valor a é chamado coeficiente angular e dá a inclinação da reta .
6) se a > 0 , então f é crescente .
7) se a < 0 , então f é decrescente .
8) quando a função é linear ( f(x) = ax ) , o gráfico é uma reta que sempre passa na origem. 7.3 - FUNÇÃO DO 2º GRAU
Uma função é dita do 2º grau quando é do tipo f(x) = ax2 + bx + c , com a ¹ 0 .
Exemplos: f(x) = x2 - 2x + 1 ( a = 1 , b = -2 , c = 1 ) ; y = - x2 ( a = -1 , b = 0 , c = 0 )
Gráfico da função do 2º grau y = ax2 + bx + c : é sempre uma parábola de eixo vertical .
Propriedades do gráfico de y = ax2 + bx + c :
1) se a > 0 a parábola tem um ponto de mínimo .
2) se a < 0 a parábola tem um ponto de máximo
3) o vértice da parábola é o ponto V(xv , yv) onde xv = - b/2a e yv = - D /4a onde
D = b2 - 4ac .
4) a parábola intercepta o eixo dos x nos pontos de abcissas x’ e x’’ , que são as raízes da
equação ax2 + bx + c = 0 .
5) a parábola intercepta o eixo dos y no ponto (0 , c) .
6) o eixo de simetria da parábola é uma reta vertical de equação x = - b/2a.
7) ymax = - D /4a ( a < 0 )
8 ) ymin = - D /4a ( a > 0 )
9) Im(f) = { y Î R ; y ³ - D /4a } ( a > 0 )
10) Im(f) = { y Î R ; y £ - D /4a} ( a < 0)
11) Forma fatorada : sendo x1 e x2 as raízes da de f(x) = ax2 + bx + c , então ela pode ser escrita na forma fatorada a seguir :
y = a(x - x1).(x - x2)
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