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sábado, 18 de setembro de 2010

O Hotel de Hilbert (Infinito)

Você já pensou sobre o infinito? Imagine um hotel com infinitos quartos, o quarto número 1, o quarto número 2, o número 3 e assim por diante. Imagine agora que este hotel está lotado. Chega então um novo casal de hóspedes, como alojá-los? Se fosse um hotel comum, um hotel finito não haveria jeito. No hotel infinito basta pedir a cada hóspede o favor de se mudar para o quarto ao lado: os hóspedes do quarto 1 passam para o quarto 2, os do 2 passam para o quarto 3 e assim por diante. O quarto 1 fica vago para receber casal recém chegado. Incrível, não? Esta questão, conhecida como Paradoxo do Hotel de Hilbert, foi bolada pelo alemão David Hilbert que viveu entre 1862 e 1943 e foi um dos grandes matemáticos de todos os tempos. Agora responda você: e se chegasse no Hotel de Hilbert já lotado o ônibus infinito de uma excursão Hilbertiana, trazendo infinitos novos hóspedes? Será que você conseguiria acomodá-los todos sem desalojar os que já estão no hotel?


INFORMAÇÕES COMPLEMENTARES

A SOLUÇÃO DO PROBLEMA
Veja na animação a seguir como se resolve o problema de colocar um novo hóspede no Hotel Infinito quando este já está lotado.

E SE CHEGAREM OUTROS INFINITOS HÓSPEDES?
A chamada de áudio propõe um novo problema: a chegada de um ônibus infinito trazendo infinitos novos hóspedes para o hotel que já está lotado. Como alojar todo mundo? A seguir explicamos uma solução.

Imagine que peçamos a cada hóspede para mudar de quarto de forma que o número de seu novo quarto seja o dobro do número de seu quarto atual. Assim, o hóspede do quarto 1 passaria ao quarto 2, o do quarto 2 passaria ao quarto 4, o do quarto 3 passaria ao quarto 6, e assim por diante. A tabela abaixo ajudaria alguns hóspedes a encontrarem seus novos quartos:
Número do Quarto Atual Número do Novo Quarto
1 2
2 4
3 6
4 8
5 10
6 12
7 14
8 16
9 18
10 20
Como podemos ver, com a nova distribuição dos hóspedes, todos os quartos com números ímpares ficarão vagos. Mas eles são infinitos! Neles cabem todos os novos hóspedes que chegam no ônibus infinito!

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Paenza, A. Matemática... Cadê Você? Sobre Números, Personagens, Problemas e Curiosidades. Editora Record, 2009.

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