Produtos Notáveis

Produtos notáveis são produtos de expressões algébricas que possuem uma forma geral para sua resolução. Os produtos notáveis aparecem no cálculo algébrico. Esses produtos são conhecidos pelo nome de produtos notáveis. O termo “Produto” pode ser o resultado de uma função de multiplicação e o termo “notável” poder definido como “importante”, ou aquilo que se destaca.

Estamos usando letras para representar números desconhecidos. Hoje você sabe, por exemplo, que a solução da equação 2x + 3 = 19 é x = 8, ou seja, o número 8 é o único valor que, colocado no lugar de x, torna a igualdade verdadeira.

Vamos agora ampliar o uso das letras.

Passaremos a empregar as letras a, b, c etc. para representar números quaisquer. Assim, a + b representa a soma
de dois números quaisquer, ab representa o produto de dois números quaisquer, e assim por diante.

A igualdade 2 + 5 = 5 + 2 é correta?

É claro que sim. Mas o fato de que a ordem das parcelas não altera a soma não vale somente para os números 2 e 5. Isso vale para números quaisquer.

É a propriedade comutativa da adição e escreve-se assim:

a + b = b + a

Temos aí um exemplo de uma identidade. Em matemática, uma identidade é uma igualdade que permanece verdadeira quaisquer que sejam os valores que sejam atribuídos às letras. Nesta aula, vamos rever algumas propriedades
 (agora usando letras) e também vamos conhecer algumas identidades muito famosas da matemática.

Exemplo de Produtos Notáveis

Para ilustrar as propriedades que veremos é preciso recordar como se calcula a área de um retângulo.

A área de uma figura é a medida de sua superfice. No caso do retângulo, a área é o produto de suas duas dimensões.
Então, chamando de A a área de um retângulo de dimensões a e b, temos:

Retângulo

            a
 _____________
|                          |
|                          |   b
|                          |
|_____________|

Área = A = ab

Observe que ab representa o produto de dois números quaisquer. Entretanto, quando as letras forem substituídas por números, é preciso colocar um ponto (ou sinal de X) entre eles para evitar confusões. Assim, se as medidas de certo
retângulo forem a = 5 e b = 2, sua área será:

A = ab = 5 · 2 = 10

É claro que se as medidas a e b forem iguais, o retângulo transforma-se num quadrado, mas a forma de calcular sua área continua igual.

Quadrado
            a
 ____________
|                        |
|                        |  b
|                        |
|____________|

Área = A = aa = a²

O simbolo a² lê-se “a ao quadrado” e significa o produto de um número por ele mesmo. Por exemplo: 4² = 4 · 4 = 16.

Por enquanto, necessitamos apenas disso. O conceito de área, as unidades e as fórmulas que calculam as áreas das diversas figuras serão vistas a seguir.

A figura a seguir mostra dois retângulos colados. Ambos têm base a e as alturas são b e c.          
 _______________________________
|                                                              |
|                                                              | b
|                                                              |
|_______________________________|
|                                                              |
|                                                              |
|                           

                                  | c
|                                                              |
|                                                              |
|_______________________________|
                                  a

O retângulo total tem base a e altura b + c. Então sua área é a(b + c). Por outro lado, a área do retângulo de baixo é ab e a área do de cima é ac.

Somando essas duas áreas temos a área total. Logo:

a(b + c) = ab + ac

Esta é a propriedade distributiva da multiplicação. Ela tem esse nome por que a letra a foi distribuída pelas outras que estavam dentro do parênteses.

Vamos agora calcular algo ligeiramente mais complicado.

EXEMPLO 1

Desenvolver (a + b)(c + d).

Vamos dar uma sugestão para que você tente fazer essa conta sozinho antes de ver a resposta: represente a + b com uma nova letra e use a propriedade que acabamos de ver.

Representaremos a soma a + b pela letra m.

(a + b)(c + d) = m (c + d)
  \_/
   m

m = mc + md

Agora, substituímos a letra m pela soma a + b:

(a + b)(c + d) = mc + md
= (a + b)c + (a + b)d
= ac + bc + ad + bd

Agora, substituímos a letra m pela soma a + b:

(a + b)(c + d) = mc + md
= (a + b)c + (a + b)d
= ac + bc + ad + bd

Concluímos, então, que:
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Observe a figura a seguir para visualizar o que foi demonstrado. O lado esquerdo de nossa igualdade representa a área de um retângulo cujas medidas são a + b e c + d.

Repare que este retângulo é a soma de quatro retângulos menores cujas áreas são as quatro parcelas que aparecem no lado direito da igualdade.

O quadrado de uma soma e de uma diferença

O exemplo que acabamos de ver é a base para a demonstração de uma das mais úteis identidades da matemática:

(a + b)² = a² + 2ab + b²
     (fórmula 1)

Essa fórmula quer dizer que o quadrado de uma soma de dois números é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. Veja a demonstração.

(a + b)² = (a + b)(a + b)
= aa + ab + ba + bb
= a² + ab + ba + b²
= a² + 2ab + b²

A interpretação desse resultado utilizando as áreas dos retângulos poder ser vista na figura a seguir.

A outra identidade, irmã da que acabamos de ver é a seguinte :
(a - b)² = a² - 2ab + b²
     (fórmula 2)

Ela nos diz que o quadrado de uma diferença de dois números é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.

Uma das formas de demonstrar esse resultado é escrever a - b como

a + (-b) e aplicar o quadrado da soma.

Veja:

(a-b)² = (a + -(b))² =
= a² + 2a(- b) + (- b)²
= a² - 2ab + b²

EXEMPLO 2

Calcule 29².
Ora, se temos uma máquina de calcular, não tem graça. Se não, é claro que sabemos calcular 29 · 29 com lápis e papel. Faça a conta. Vamos dar o resultado de maneira bem rápida e simples. Escrevemos 29 como 30 - 1 e usamos a fórmula 2. Veja:

29² = (30-1)²
= 30² - 2 · 30 · 1 + 1²
= 900 - 60 + 1
= 841

A diferença de quadrados

A terceira identidade que vamos aprender é a seguinte:

a² - b² = (a + b)(a - b)
      (fórmula 3 )

Ela nos diz que a diferença entre os quadrados de dois números é igual ao produto da soma pela diferença desses números. Para demonstrar isso, basta desenvolver o lado direito da igualdade. Veja:

(a + b)(a - b) = aa + ab - ba - bb
= a² - b²

Esta identidade nos será útil em diversos momentos do nosso curso. Por ora,
veja como ela pode simplificar certos cálculos.

EXEMPLO 3

Em um loteamento, cada quadra de terreno é um quadrado com 61 metros de lado. O autor do projeto resolveu então aumentar a largura da calçada e, com isso, cada quadra passou a ser um quadrado de 59 metros de lado. Que área os
terrenos perderam?

Pense um pouco antes de ver a solução.

Uma forma simples de responder a esta questão é calcular a área antiga, a área nova e depois subtrair. Inicialmente a área da quadra era 61².

Depois a área da quadra passou a ser 59². Então a área perdida foi
61² - 59²

É claro que sabemos fazer estas contas. Mas, veja como fica simples o cálculo se utilizamos a fórmula 3.
61² - 59² = (61 + 59)(61 - 59) = 120 · 2 = 240

Os terrenos perderam, então, 240 metros quadrados.