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sexta-feira, 1 de outubro de 2010

Um tutorial de 10 minutos para resolver problemas de matemática com Maxima CAS

As chances são de que pelo menos alguns deles baixado e instalado Maxima. Se você é um deles , mas não estão familiarizados com software CAS (Computer Algebra System) , Maxima pode parecer muito complicado e difícil de usar, mesmo para a resolução de ensino médio ou simples problemas de cálculo . Isso não precisa ser o caso, porém, se você está procurando por mais recursos da matemática para usar em sua carreira ou um estudante em um licenciatura em matemática online procurando a ajuda do homework , Maxima é muito amigável e este tutorial de 10 minutos irá ajudar a começar de imediato. Uma vez que você tem os primeiros passos para baixo, você pode sempre olhar para a função específica que você precisa, ou aprender mais a partir do Maxima manual oficial. Alternativamente , você pode usar o ponto de interrogação seguido de uma seqüência para obter a documentação em linha (por exemplo ? integração). Este tutorial tem uma abordagem prática , onde são apresentados exemplos simples para mostrar a você como calcular tarefas comuns. Claro que isto é apenas a ponta do iceberg. Maxima é muito mais do que isso, mas mesmo apenas arranhando a superfície deve ser suficiente para você ir . No final, você só investindo 10 minutos.

Maxima como uma calculadora

Você pode usar Maxima como uma calculadora rápida e confiável , cuja precisão é arbitrária dentro dos limites do hardware do seu PC. Maxima espera que você digite um ou mais comandos e expressões separadas por uma vírgula (; ) , assim como você faria em muitas linguagens de programação .
(% i1 ) 9 7 ;
(% o1) 16
(% i2 ) -17 * 19 ;
(% o2) -323
(% i3) 02/10 ;
(% o3) 5
Maxima lhe permite consultar o resultado mais recente com o caractere% , e anterior a qualquer entrada ou saída pelos seus respectivos % i solicitado ( entrada) ou o % (saída). Por exemplo:
(% i4) % - 10;
(% o4) -5
(% i5) % o1 * 3 ;
(% o5) 48
Por razões de simplicidade, de agora em diante vamos omitir a entrada de numerada e pede saída produzida por Maxima console, e indicar a saída com um sinal => . Quando o numerador eo denominador são ambos inteiros , uma fração reduzida ou um valor inteiro é retornado. Estes podem ser avaliadas em ponto flutuante usando o flutuar função (ou bfloat para grandes números em ponto flutuante ):
8/2;
=> 4
8/2.0;
=> 4.0
2/6;
=> \displaystyle \frac{1}{3}
float ( 1 / 3 );
=> 0.33333333333333
1/3.0;
=> 0.33333333333333
26/4;
=> \displaystyle \frac{13}{2}
float ( 26 / 4 );
=> 6.5
Como mencionado acima , os números grandes não são um problema:
13^26;
=> 91733330193268616658399616009
13.0^26
=> \displaystyle 9.1733330193268623\text{ }10^_{+28}
30!;
=> 265252859812191058636308480000000
float ( ( 03/07 ) ^ 35);
=> \displaystyle 7.5715969098311943\text{ }10^_{+12}

Constantes e funções comuns

Aqui está uma lista de constantes comuns no Maxima , que você deve estar ciente:
  • % e - Número de Euler
  • % pi - \displaystyle \pi
  • phi % - a média de ouro (\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2})
  • % i - a unidade imaginária (\displaystyle \sqrt{-1})
  • inf - infinito real positiva (\infty)
  • minf - infinito real de menos (-\infty)
  • infinito - infinito complexo
Podemos usar alguns desses juntamente com as funções comuns:
pecado ( % pi / 2) + cos ( % pi / 3);
=> \displaystyle \frac{3}{2}
tan ( % pi / 3) Cama * ( % pi / 3);
=> 1
float ( pi ( % s / 3) + csc ( % pi / 3)) ;
=> 3.154700538379252
sqrt (81) ;
=> 9
log ( % e);
=> 1

Definição de funções e variáveis

As variáveis podem ser atribuídos por meio de dois pontos ':' e funciona através de ':='. O código a seguir mostra como usá-las:
um : 7; b : 8;
=> 7
=> 8
sqrt (a ^ 2 + b 2);
=> \sqrt{113}
f ( x): = x ^ 2- x + 1;
=> x^2 -x + 1
f (3);
=> 7
f ( a);
=> 43
f ( b);
=> 57
Por favor note que Maxima só oferece a função logaritmo natural log. log10 não está disponível por padrão, mas você pode defini-la a si mesmo como mostrado a seguir:
log10 ( x ) = log ( x) / log (10);
=> \displaystyle log10(x):=\frac{log(x)}{log(10)};
log10 (10)
=> 1

Simbólico Cálculos

fator permite-nos encontrar a fatoração prima de um número:
fator (30 !) ;
=> \displaystyle 2^{26}\,3^{14}\,5^7\,7^4\,11^2\,13^2\,17\,19\,23\,29
Podemos também fator de polinômios :
fator ( x ^ 2 + x -6) ;
=> (x-2)(x+3)
E expandi-los:
expand ( (x +3) ^ 4);
=> \displaystyle x^4+12\,x^3+54\,x^2+108\,x+81
Simplificar expressões racionais:
ratsimp ((x ^ 2-1) / (x +1)) ;
=> x-1
E simplificar expressões trigonométricas :
trigsimp (2 * cos (x ) ^ 2 + sin (x ) ^ 2) ;
=> \displaystyle \cos ^2x+1
Da mesma forma , podemos expandir expressões trigonométricas :
trigexpand (sin ( 2 * x ) + cos (2 * x));
=> \displaystyle -\sin ^2x+2\,\cos x\,\sin x+\cos ^2x
Por favor note que Maxima não aceitará 2x como um produto, ele requer que você especifique explicitamente 2 * x. Se você deseja obter a representação TeX de uma expressão dada, você pode usar o tex função:
tex ( %);
=> $ $ - sin ^ \ 2x 2 , \ cos x , \ sin x + \ cos ^ 2x $ $

Equações e Sistemas

Podemos facilmente resolver equações e sistemas de equações através da função resolver:
solve ( x ^ 2-4, x);
=> \displaystyle \left[ x=-2 , x=2 \right]
%[2]
=> x=2
solve ( x ^ 3 = 1 , x);
=> \displaystyle \left[ x={{\sqrt{3}\,i-1}\over{2}} , x=-{{\sqrt{3}\,i+1}\over{2}}  , x=1 \right]
trigsimp (solve ([ cos ( x) ^ 2 x = 2 -sin ^ (x ) 2] , [x] ));
=> \displaystyle \left[ x=-1 \right]
solve ( [x - y * 2 = 14 , x + 3 * y = 9 ], [ x, y] );
=> \left[ \left[ x=12 , y=-1 \right]  \right]

Plotagem em 2D e 3D

Maxima nos permite traçar gráficos 2D e 3D , e até mesmo várias funções no mesmo gráfico . As funções plot2d e plot3d são bastante simples como você pode ver abaixo. A segunda (e no caso de plot3d , o terceiro ) , parâmetro é apenas o intervalo de valores para x (e, y ) que define que parte do gráfico fica traçado.
plot2d (x ^ 2 x 3 , [x, -10,10 ]);
2dplot.png
plot2d ([ x ^ 2 , x ^ 3, x ^ 4- x +1] , [x, -10,10 ]);
many_2dplot.png
f ( x, y ) = sin ( x ) + cos ( y);
plot3d (f ( x , y), [x, -5,5 ], [ y, -5,5 ]);
3dplot.png

Limites

limite ( (1 +1 / x ^) x , x inf );
=%>e
limite ( sin (x) / x , x, 0);
=> 1
limite (2 * (x ^ 2-4) / (x -2) , x, 2);
=> 8
limite ( log ( x) , x 0, mais) ;
=> -\infty
limite ( sqrt (-x) / x , x 0, menos) ;
=> -\infty

Diferenciação

(sin ( x) , x) diff ;
=> \displaystyle cos(x)
diff ( x ^ x , x);
=> \displaystyle x^{x}\,\left(\log x+1\right)
Podemos calcular derivadas de ordem superior , passando a ordem como um número opcional para o função diff:
(tan (x), x, 4) diff ;
=> \displaystyle 8\,\sec ^2x\,\tan ^3x+16\,\sec ^4x\,\tan x

Integração

Maxima oferece vários tipos de integração. Para simbolicamente resolver integrais indefinidas uso integrar:
integrar (1 / x , x);
=> \displaystyle log(x)
Para que a integração definitiva , basta especificar os limites de integração como os dois últimos parâmetros :
integrar ( x 2 / (x -3) , x, 0,1) ;
=> \displaystyle -2\,\log 3+2\,\log 2+{{1}\over{2}}
integrar ( % e ^ (-x ^ 2) , x, minf inf );
=> \sqrt{\% pi}
Se a função integrar é incapaz de calcular uma integral, você pode fazer uma aproximação numérica através de um dos métodos disponíveis (por exemplo, romberg):
romberg (cos sin ((x +1)) , x , 0 , 1);
=> 0,57591750059682

Somas e produtos

soma e produto são duas funções para o cálculo da soma e do produto. A simpsum opção simplifica a soma sempre que possível. Observe como o produto pode ser usado para definir a sua própria versão da função fatorial também.
sum ( k , k, 1, n) ;
=> \displaystyle \sum_{k=1}^{n}{k}
sum ( k , k, 1, n), simpsum ;
=> \displaystyle {{n^2+n}\over{2}}
sum ( k ^ 1 / 4, k , 1, inf) , simpsum ;
=> \displaystyle {{\%pi^{4}}\over{90}}
fato ( n ): produto = ( k , k, 1, n) ;
=> fact(n):=product(k,k,1,n)
fato (10);
=>  3628800

Série Expansões

expansões da série pode ser calculado através da taylor método ( o último parâmetro especifica a profundidade ), ou através do método powerseries:
niceindices ( powerseries ( % e ^ x , x , 0)) ;
=> \displaystyle \sum_{i=0}^{\infty }{{{x^{i}}\over{i!}}}
Taylor ( % e ^ x, x, 0 , 5);
=> \displaystyle 1+x+{{x^2}\over{2}}+{{x^3}\over{6}}+{{x^4}\over{24}}+{{x^5}\over{120 }}+\cdots
A trunc método, juntamente com plot2d é usada quando a saída de Taylor deve ser plotados ( para lidar com a +\cdots na saída de Taylor ):
plot2d ([ trunc % (), % e ^ x], [x, -5,5 ]);
taylor.png
Eu espero que você ache útil e que vai ajudar você a começar com o Maxima. CAS podem ser ferramentas poderosas e se você estiver disposto a aprender como usá-los corretamente, você vai descobrir logo que era um tempo bem investido.
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