AMBIENTES INFORMATIZADOS E A APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA

AMBIENTES INFORMATIZADOS E A APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA

            Está se tomando como princípio que a aprendizagem é um processo construtivo, que depende de modo fundamental das ações do sujeito e de suas reflexões sobre estas ações: “Todo conhecimento é ligado à ação e conhecer um objeto ou evento á assimilá-lo à um esquema de ação...Isto é verdade do mais elementar nível sensório motor ao mais elevado nível de operações lógico -matemáticas” (Piaget,1967).

            No contexto da Matemática, são as ações, inicialmente sobre objetos concretos, que se generalizam  em esquemas, e num estágio mais avançado são as ações sobre objetos abstratos que se generalizam em conceitos e teoremas. Quando a criança brinca com pedras, dispondo-as de diversas formas (segmentos de retas com diversas inclinações e tamanhos, círculos) e ao contar o número de pedras constata, com surpresa, que o número de pedras independe da forma em que estão dispostas, é através das ação concreta de ordenar e contar que constroe o conceito de número natural. Um matemático, em seu estágio avançado de pensamento formal, também ‘age’ sobre seus objetos de investigação: identifica, em casos particulares regularidades que se generalizam; testa  suas conjeturas em novos casos particulares; e finalmente aventura-se na tentativa de demonstração. É o que diz Hadamard (1945):

                       

            “De fato, é óbvio que qualquer invenção ou descoberta, em Matemática ou em qualquer outra área, acontece pela combinação de idéias...algumas das quais podem ser férteis...É necessário construir numerosas possibilidades de combinações, e encontrar dentre elas as que são proveitosas...”

            Da criança ao matemático profissional, os objetos mudam de natureza: de físicos passam a abstratos, mas continuam guardando uma ‘concretude’, dada pela  representação mental, figural ou simbólica, a eles associada, e é sobre estes objetos que são aplicadas as ações mentais. Neste sentido é interessante o que diz Ogborn (1997), a luz da teoria de Piaget, quando fala em “raciocínio formal como um caso especial e bastante extraordinário de raciocínio concreto. Matemáticos e lógicos estão tão acostumados com seus sistemas de símbolos, que os tratam como objetos concretos.”

            No processo de ensino e aprendizagem, a transição na natureza dos objetos sobre os quais os alunos aplicam as ações é uma questão central. O mundo físico é rico em objetos concretos para o início da aprendizagem em Matemática, no geral de caráter espontâneo. Mas se o objetivo é a construção de conceitos mais complexos e abstratos, estes não tem suporte materializado, entrando em jogo a ‘concretização mental’, que nem sempre é simples, mesmo para o matemático profissional. Este tipo de aprendizagem nem sempre tem caráter espontâneo e exige muitas vezes a construção de conceitos que são até mesmo, num primeiro momento, pouco intuitivos, portanto  dependendo de muita ação mental por parte do aluno. Um exemplo ilustrativo, ao extremo, encontra-se na própria história do desenvolvimento da geometria: dois mil anos foram necessários para as mudanças de concepções que tornaram naturais as geometrias não-euclidianas. O grande obstáculo explica-se pelo caráter pouco intuitivo dos axiomas que definiriam estas geometrias, em oposição aos caráter espontâneo daqueles da geometria euclidiana, entendida até então como a geometria para o entendimento do mundo que nos rodeia (e hoje vê-se que, de fato, até onde nossos sentidos imediatos conseguem percebê-lo).

            Obstáculos e a sua superação permeiam a história do desenvolvimento da Matemática. Na aprendizagem o processo é similar: por um lado temos o conhecimento matemático, no sentido de conhecimento socialmente aceito, e por outro lado a construção deste conhecimento através dos processos cognitivos individuais. Em relação aos conceitos, Vinner (1991) se refere aos primeiros como ‘conceito definição’ e aos últimos como ‘conceitos imagens’. A aprendizagem se efetiva a partir do equilíbrio dos dois conceitos, e isto é fundamental para o avanço na construção do conhecimento. Enquanto os alunos encontram obstáculos em traçar reta tangente à curva y = x³ no ponto (0,0) é porque o “conceito imagem” está incompleto, e portanto o objeto matemático ‘reta tangente à curva’ ainda não foi adequadamente construído.

            Os ambientes informatizados apresentam-se como ferramentas de grande potencial frente aos obstáculos inerentes ao processo de aprendizagem.  É a possibilidade de "mudar os limites entre o concreto e o formal" (Papert, 1988). Ou ainda segundo Hebenstreint (1987):“o computador permite criar um novo tipo de objeto - os objetos ‘concreto-abstratos’. Concretos porque existem na tela do computador e podem ser manipulados; abstratos por se tratarem de realizações feitas a partir de construções mentais.” Por exemplo, uma rotação não é mais somente um objeto  matemático abstrato (dado por uma definição formal) acompanhado eventualmente de uma representação estática (desenho), mas um objeto que pode ser manipulado e entendido a partir de suas invarianças (ao mudar-se o centro de rotação, o ângulo de rotação, ao transformar figuras).

            No campo da pesquisa em Matemática alguns exemplos são ilustrativos. A teoria do caos nasceu do estudo de equações diferenciais feito por Lorentz; ao implementar sistemas que diferenciavam minimamente nas condições iniciais, Lorentz constatou que a evolução do sistema, no tempo, se tornava imprevisível  e a partir disto surgem os resultados teóricos sobre a instabilidade dos sistemas dinâmicos. Um segundo exemplo: a representação gráfica de computações massivas tornou possível o avanço da teoria de fractais. Figuras surpreendentes foram fontes de conjeturas que desencadearam a pesquisa na direção de demonstrações formais. Estes exemplos são paradigmáticos quanto ao suporte oferecido pelos ambientes informatizados na concretização mental de idéias matemáticas. Este suporte favorece a exploração, a elaboração de conjeturas e o refinamento destas, e a gradativa construção de uma teoria matemática formalizada.  

            E mesmo quando existe a possibilidade de ações sobre objetos físicos, a transposição destes objetos para ambientes informatizados também apresenta vantagens: é a possibilidade de realizar grande variedade de experimentos em pouco tempo, diferentemente da manipulação concreta. É a primazia da ação favorecendo o processo de investigação e abstração, com a conseqüente construção de conceitos e relações. Neste espírito tem-se como exemplo o programa “Blocks Microworld” de Thompson (1992), que permite a construção virtual do material multibase de Dienes.

            É claro que o suporte para concretizações e ações mentais depende de características dos ambientes informatizados, algumas das quais serão propósito de   análise no que segue. E a título de ilustração são apresentados exemplos de alguns programas.